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高斯定理

名词解释
高斯定理(Gauss Law)也称为高斯公式(Gauss Formula),或称作散度定理、高斯散度定理、高斯-奥斯特罗格拉德斯基公式、奥氏定理或高-奥公式(通常情况的高斯定理都是指该定理,也有其它同名定理)。在静电学中,表明在闭合曲面内的电荷之和与产生的电场在该闭合曲面上的电通量积分之间的关系。 高斯定律(Gauss’ law)表明在闭合曲面内的电荷分布与产生的电场之间的关系。高斯定律在静电场情况下类比于应用在磁场学的安培定律,而二者都被集中在麦克斯韦方程组中。因为数学上的相似性,高斯定律也可以应用于其它由反平方定律决定的物理量,例如引力或者辐照度。
基本信息

中文名: 高斯公式 英文名: Gauss Formula
别称: 高斯定理、散度定理等 表达式: ∮F·dS=∫(▽·F)dV
提出者: 高斯 应用学科: 数学、物理学
适用领域范围: 矢量分析 静电学

高斯定理定义/高斯定理

通过任意闭合曲面的电通量等于该闭合曲面所包围的所有电荷量的代数和与电常数之比。 应用学科:电力(一级学科);通论(二级学科)

定理内容 /高斯定理

矢量分析的重要定理之一。穿过一封闭曲面的电通量与封闭曲面所包围的电荷量成正比。换一种说法:电场强度在一封闭曲面上的面积分与封闭曲面所包围的电荷量成正比。由于磁力线总是闭合曲线,因此任何一条进入一个闭合曲面的磁力线必定会从曲面内部出来,否则这条磁力线就不会闭合起来了。如果对于一个闭合曲面,定义向外为正法线的指向,则进入曲面的磁通量为负,出来的磁通量为正,那么就可以得到通过一个闭合曲面的总磁通量为0。这个规律类似于电场中的高斯定理,因此也称为高斯定理

电场强度E 在任意面积上的面积分称为电场强度对该面积的通量。根据库仑定律可以证明电场强度对任意封闭曲面的通量正比于该封闭曲面内电荷的代数和,即

, (1)

这就是高斯定理。它表示,电场强度对任意封闭曲面的通量只取决于该封闭曲面内电荷的代数和,与曲面内电荷的分布情况无关,与封闭曲面外的电荷亦无关。在真空的情况下,Σq是包围在封闭曲面内的自由电荷的代数和。当存在介质时,Σq应理解为包围在封闭曲面内的自由电荷和极化电荷的总和。
高斯定理反映了静电场是有源场这一特性。凡是有正电荷的地方,必有电力线发出;凡是有负电荷的地方,必有电力线会聚。正电荷是电力线的源头,负电荷是电力线的尾闾。
高斯定理是从库仑定律直接导出的,它完全依赖于电荷间作用力的二次方反比律。把高斯定理应用于处在静电平衡条件下的金属导体,就得到导体内部无净电荷的结论,因而测定导体内部是否有净电荷是检验库仑定律的重要方法。
对于某些对称分布的电场,如均匀带电球的电场,无限大均匀带电面的电场以及无限长均匀带电圆柱的电场,可直接用高斯定理计算它们的电场强度。
当存在电介质并用电位移D描写电场时,高斯定理可表示成

。 (2)

它说明电位移对任意封闭曲面的通量只取决于曲面内自由电荷的代数和Σqo,与自由电荷的分布情况无关,与极化电荷亦无关。电位移对任一面积的能量为电通量,因而电位移亦称电通密度。对于各向同性的线性的电介质,电位移与电场强度成正比,DεrεoE,εr称为介质的相对介电常数,这是一个无量纲的量。如果整个封闭曲面S在一均匀的相对介电常数为εr的线性介质中(其余空间区域可以充任何介质),高斯定理(2)又可写成

, (3)

在研究电介质中的静电场时,这两种形式的高斯定理特别重要。
  高斯定理的微分形式为

即电位移的散度等于该点自由电荷的体密度。在均匀线性介质区内,则为

静电场的高斯定理可以推广到非静态场中去,不论对于随时间变化的电场还是静态电场,高斯定理都是成立的,它是麦克斯韦方程组的组成部分。 高斯定理延伸/高斯定理 高斯定理2

(代数学基本定理)
定理:凡有理整方程至少有一个根。

推论:一元n次方程

高斯定理3

(数论)
正整数n可被表示为两整数平方和的充要条件为n的一切形如4k+3形状的质因子的幂次均为偶数。

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